(1) 順列 $_5P_2$、$_4P_4$、組み合わせ $_5C_2$、$_4C_3$ の値を求める問題。 (2) 大小2つのサイコロを同時に投げたとき、出た目の和が6の倍数になる確率と、出た目の積が奇数になる確率を求める問題。 (3) 50以下の自然数全体の集合を$U$とする。$U$の部分集合で、2の倍数全体の集合を$A$、3の倍数全体の集合を$B$とする。このとき、$n(B)$、$n(A \cap B)$、$n(A \cap \overline{B})$、$n(A \cup B)$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 順列 $_5P_2$、$_4P_4$、組み合わせ $_5C_2$、$_4C_3$ の値を求める問題。

(2) 大小2つのサイコロを同時に投げたとき、出た目の和が6の倍数になる確率と、出た目の積が奇数になる確率を求める問題。

(3) 50以下の自然数全体の集合を$U$とする。$U$の部分集合で、2の倍数全体の集合を$A$、3の倍数全体の集合を$B$とする。このとき、$n(B)$、$n(A \cap B)$、$n(A \cap \overline{B})$、$n(A \cup B)$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 順列と組み合わせの公式を使って計算する。

* $_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

* $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

$_5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$

$_4P_4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{0!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$

(2) サイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通り。

* 出た目の和が6の倍数になるのは、和が6または12の場合。

* 和が6になるのは、(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) の5通り。

* 和が12になるのは、(6,6)の1通り。

* よって、確率は $\frac{5+1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

* 出た目の積が奇数になるのは、両方の目が奇数の場合。

* 奇数の目は1,3,5の3通り。

* よって、確率は $\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

(3)

* 50以下の3の倍数の個数$n(B)$は、 $50 \div 3 = 16$ あまり2なので、16個。

* $A \cap B$ は2の倍数かつ3の倍数、つまり6の倍数全体の集合。

* 50以下の6の倍数の個数は、 $50 \div 6 = 8$ あまり2なので、8個。よって、$n(A \cap B) = 8$

* $A \cap \overline{B}$ は2の倍数で、3の倍数ではないもの。

* 50以下の2の倍数の個数は、$50 \div 2 = 25$。よって、$n(A)=25$。

* $n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 25 - 8 = 17$

* $A \cup B$ は2の倍数または3の倍数の集合。

* $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 25 + 16 - 8 = 33$

3. 最終的な答え

(1)

$_5P_2 = 20$

$_4P_4 = 24$

$_5C_2 = 10$

$_4C_3 = 4$

(2)

出た目の和が6の倍数である確率は $\frac{1}{6}$

出た目の積が奇数である確率は $\frac{1}{4}$

(3)

$n(B) = 16$

$n(A \cap B) = 8$

$n(A \cap \overline{B}) = 17$

$n(A \cup B) = 33$