4つのチームA, B, C, Dがあり、図に示されたトーナメント方式でサッカーの試合を行う。各チームの割り当て方はくじ引きで決める。AチームとBチームが対戦する確率を求める。

1. 問題の内容

4つのチームA, B, C, Dがあり、図に示されたトーナメント方式でサッカーの試合を行う。各チームの割り当て方はくじ引きで決める。AチームとBチームが対戦する確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、4つのチームの割り当て方の総数を考える。これは、4つのチームを4つの場所に並べる順列なので、4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24通り。

次に、AチームとBチームが対戦するような割り当て方を考える。

図を見ると、AチームとBチームが対戦するのは、図の左側の2つの丸にA, Bのどちらかが配置される場合、または右側の2つの丸にA, Bのどちらかが配置される場合である。

(i) 左側の2つの丸にA, Bが配置される場合

AとBの配置はA-BとB-Aの2通り。残りのCとDは右側の2つの丸に配置されるが、その配置はC-DとD-Cの2通り。よって、この場合は2 × 2 = 4通り。

(ii) 右側の2つの丸にA, Bが配置される場合

AとBの配置はA-BとB-Aの2通り。残りのCとDは左側の2つの丸に配置されるが、その配置はC-DとD-Cの2通り。よって、この場合は2 × 2 = 4通り。

したがって、AチームとBチームが対戦するような割り当て方は、4 + 4 = 8通り。

AチームとBチームが対戦する確率は、(AチームとBチームが対戦する割り当て方) / (割り当て方の総数) = 8 / 24 = 1/3。

3. 最終的な答え

1/3