円に内接する四角形ABCDにおいて、$DA = 2AB$, $\angle BAD = 120^\circ$であり、対角線BD, ACの交点をEとする。EはBDを3:4に内分する。 (1) $AB:BC:CD:DA = 1: \boxed{ア} : \boxed{イ} : 2$を求める。 (2) EはACを$\boxed{ウ}:\boxed{エ}$ (最も簡単な整数の比) に内分する。 (3) $BD = \sqrt{\boxed{オ}} AB, AC = \frac{\boxed{カ}}{\sqrt{\boxed{キ}}} AB$を求める。 (4) 円の半径を1とすると、$AB = \sqrt{\frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}}}$であり、四角形ABCDの面積$S = \frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}} \sqrt{\boxed{シ}}$を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$DA = 2AB$, $\angle BAD = 120^\circ$であり、対角線BD, ACの交点をEとする。EはBDを3:4に内分する。

(1) $AB:BC:CD:DA = 1: \boxed{ア} : \boxed{イ} : 2$を求める。

(2) EはACを$\boxed{ウ}:\boxed{エ}$ (最も簡単な整数の比) に内分する。

(3) $BD = \sqrt{\boxed{オ}} AB, AC = \frac{\boxed{カ}}{\sqrt{\boxed{キ}}} AB$を求める。

(4) 円の半径を1とすると、$AB = \sqrt{\frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}}}$であり、四角形ABCDの面積$S = \frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}} \sqrt{\boxed{シ}}$を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$AB = x$とおくと、$DA = 2x$である。$\angle BAD = 120^\circ$なので、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos 120^\circ = x^2 + (2x)^2 - 2x(2x)(-\frac{1}{2}) = x^2 + 4x^2 + 2x^2 = 7x^2$

$BD = \sqrt{7}x$

EはBDを3:4に内分するので、$BE = \frac{3}{7}BD = \frac{3\sqrt{7}}{7}x$

円に内接する四角形の性質より、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$より、$AB:CD = BE:DE = 3:4$, よって $CD = \frac{4}{3}AB = \frac{4}{3}x$

$\triangle ADE \sim \triangle BCE$より、$AD:BC = DE:BE = 4:3$, よって $BC = \frac{3}{4}AD = \frac{3}{4}(2x) = \frac{3}{2}x$

よって$AB:BC:CD:DA = x:\frac{3}{2}x:\frac{4}{3}x:2x = 1:\frac{3}{2}:\frac{4}{3}:2 = 6:9:8:12$

したがって $AB:BC:CD:DA = 1:\frac{3}{2}:\frac{4}{3}:2$なので、$ア = \frac{3}{2}$, $イ = \frac{4}{3}$

これを整数比にすると、$AB:BC:CD:DA = 6:9:8:12$.

(2) $\triangle ABE \sim \triangle DCE$より、$AE:CE = BE:DE = 3:4$

したがって、$E$は$AC$を$3:4$に内分する。

(3) $BD = \sqrt{7} AB$

$AC$について、$\triangle ABD$において余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 AB \cdot AD \cos 120^\circ = x^2 + 4x^2 - 2(x)(2x)(-\frac{1}{2}) = 7x^2$

$BD = \sqrt{7} x$

$\triangle ABC$において余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B$. $BC = \frac{3}{2}x$, $AB = x$.

$BD = \sqrt{7}AB$より、$\angle B = \theta$とすると、$\angle D = 180^\circ - \theta$.

$AB \cdot CD = BC \cdot AD = AC \cdot BD$.

$AB = x, BC = \frac{3}{2}x, CD = \frac{4}{3}x, DA = 2x$

$AC \cdot BD = AD \cdot BC + AB \cdot CD$ (トレミーの定理)

$AC \cdot \sqrt{7} x = 2x \cdot \frac{3}{2}x + x \cdot \frac{4}{3}x = 3x^2 + \frac{4}{3}x^2 = \frac{13}{3}x^2$

$AC = \frac{13}{3\sqrt{7}}x = \frac{13\sqrt{7}}{21}x$

$AC = \frac{13\sqrt{7}}{21} AB$

(4) 円の半径を1とすると、$AB = \sqrt{\frac{3}{7}}$であり、四角形ABCDの面積Sは$\frac{13}{8} \sqrt{3}$である。

3. 最終的な答え

(1) $AB:BC:CD:DA = 1:\frac{3}{2}:\frac{4}{3}:2$

(2) $3:4$

(3) $BD = \sqrt{7} AB, AC = \frac{13\sqrt{7}}{21} AB$

(4) $AB = \sqrt{\frac{3}{7}}, S = \frac{13}{8}\sqrt{3}$