問題は、座標平面上に与えられた3点 $A(1, 5)$、$B(-3, -2)$、$C(2, -4)$ を頂点とする平行四辺形 $ABCD$ について、次の2つの問いに答えるものです。 (1) 対角線の交点 $M$ の座標を求める。 (2) 平行四辺形 $ABCD$ の面積を求める。

1. 問題の内容

問題は、座標平面上に与えられた3点 $A(1, 5)$、$B(-3, -2)$、$C(2, -4)$ を頂点とする平行四辺形 $ABCD$ について、次の2つの問いに答えるものです。

(1) 対角線の交点 $M$ の座標を求める。

(2) 平行四辺形 $ABCD$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線の交点 $M$ の座標を求める。

平行四辺形の対角線は互いの中点で交わるので、$M$ は対角線 $AC$ の中点です。

したがって、$M$ の座標は、$A$ と $C$ の座標の平均で求められます。

$M_x = \frac{A_x + C_x}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}$

$M_y = \frac{A_y + C_y}{2} = \frac{5 + (-4)}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$M$ の座標は $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ です。

(2) 平行四辺形 $ABCD$ の面積を求める。

平行四辺形 $ABCD$ の面積は、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ によって張られる平行四辺形の面積で求められます。

$\vec{AB} = B - A = (-3 - 1, -2 - 5) = (-4, -7)$

$\vec{AC} = C - A = (2 - 1, -4 - 5) = (1, -9)$

平行四辺形の面積は、$|\vec{AB} \times \vec{AC}|$ の絶対値で表されます。

ここで、$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-4)(-9) - (-7)(1) = 36 + 7 = 43$

したがって、平行四辺形 $ABCD$ の面積は $43$ です。

3. 最終的な答え

(1) 対角線の交点 $M$ の座標: $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$

(2) 平行四辺形 $ABCD$ の面積: $43$