直線 $y = -\sqrt{3}x$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角 $\theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = -\sqrt{3}x$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角 $\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

直線の傾きは $m = -\sqrt{3}$ である。直線の傾きは、その直線と $x$ 軸の正の向きとのなす角 $\theta$ の正接（タンジェント）に等しいので、

$\tan \theta = -\sqrt{3}$

$\tan \theta$ の値が $-\sqrt{3}$ となる角 $\theta$ を求める。$0^\circ \le \theta < 360^\circ$ の範囲で考えると、$\tan \theta$ が負の値になるのは第2象限と第4象限である。

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ なので、$\tan (180^\circ - 60^\circ) = \tan 120^\circ = -\sqrt{3}$

また、$\tan (360^\circ - 60^\circ) = \tan 300^\circ = -\sqrt{3}$ である。

しかし、通常、直線とx軸の正の向きとのなす角は、0°から180°の間で考えられるので、$\theta = 120^\circ$ が適切である。

3. 最終的な答え

$\theta = 120^\circ$