$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ の条件のもとで、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ の条件のもとで、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\cos \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta$ は常に正の値をとります。$\sin \theta = \frac{1}{3} > 0$ を満たす $\theta$ は、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ の範囲に存在します。

この範囲において、$\cos \theta$ は、第1象限（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）では正の値、第2象限（$90^\circ < \theta < 180^\circ$）では負の値をとります。$\sin \theta = \frac{1}{3}$ となる $\theta$ は2つ存在しえます。

したがって、$\cos \theta$ は正と負の二つの値をとりえます。

次に、$\tan \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき、

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき、

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos \theta = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$ なので、$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}, -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{2\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}, -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{1}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{2\sqrt{2}}$