$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = 2$ が与えられています。このとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = 2$ が与えられています。このとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることを利用します。

$\tan \theta = 2$ より、 $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$ です。

したがって、$\sin \theta = 2\cos \theta$ となります。

三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に、$\sin \theta = 2\cos \theta$ を代入します。

$(2\cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$4\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$5\cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

ここで、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であることを考慮します。

$\tan \theta = 2 > 0$ なので、$\theta$ は第1象限または第3象限の角ですが、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より $\theta$ は第1象限または第2象限の角です。したがって、$\theta$ は第1象限の角である必要があります。

第1象限では $\cos \theta > 0$ と $\sin \theta > 0$ なので、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ となります。

$\sin \theta = 2\cos \theta$ なので、$\sin \theta = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

よって、選択肢より

コ：①

サ：③

となります。