三角形ABCにおいて、$b=3, A=135^\circ, B=30^\circ$のとき、$a$と外接円の半径$R$の値を求める問題です。$a$の値は$a = \boxed{\text{ア}} \sqrt{\boxed{\text{イ}}}$の形で、$R$の値は$R = \boxed{\text{ウ}}$の形で答えます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=3, A=135^\circ, B=30^\circ$のとき、$a$と外接円の半径$R$の値を求める問題です。$a$の値は$a = \boxed{\text{ア}} \sqrt{\boxed{\text{イ}}}$の形で、$R$の値は$R = \boxed{\text{ウ}}$の形で答えます。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和が$180^\circ$であることから、角Cの大きさを求めます。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$

次に、正弦定理を用いて$a$と$R$の値を求めます。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

$\frac{a}{\sin 135^\circ} = \frac{3}{\sin 30^\circ}$ より、$a$を求めます。

$a = \frac{3 \sin 135^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{2}$

よって、$a = 3\sqrt{2}$となります。

次に、$R$を求めます。

$2R = \frac{b}{\sin B} = \frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$

$R = \frac{6}{2} = 3$

よって、$R = 3$となります。

3. 最終的な答え

$a = 3\sqrt{2}$

$R = 3$