三角形ABCにおいて、$b=\sqrt{2}$, $c=1$, $C=30^\circ$のとき、角Bと角Aの値を求める問題です。ただし、角Bと角Aにはそれぞれ2組の解が存在しうるため、それらを全て求める必要があります。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=\sqrt{2}$, $c=1$, $C=30^\circ$のとき、角Bと角Aの値を求める問題です。ただし、角Bと角Aにはそれぞれ2組の解が存在しうるため、それらを全て求める必要があります。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて角Bのsinの値を求めます。

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin B} = \frac{1}{\sin 30^\circ}$

$\sin B = \sqrt{2} \sin 30^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$となる角Bは、$45^\circ$と$135^\circ$です。

(i) $B = 45^\circ$ のとき

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

(ii) $B = 135^\circ$ のとき

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$

したがって、

$B = 45^\circ$, $A = 105^\circ$

または

$B = 135^\circ$, $A = 15^\circ$

3. 最終的な答え

$B = 45^\circ$, $A = 105^\circ$

または

$B = 135^\circ$, $A = 15^\circ$