三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$、 $B = 135^\circ$、 $C = 15^\circ$のとき、残りの角Aの大きさ、辺bの長さ、辺cの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$、 $B = 135^\circ$、 $C = 15^\circ$のとき、残りの角Aの大きさ、辺bの長さ、辺cの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$なので、角Aの大きさは以下のように求められます。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 135^\circ - 15^\circ = 30^\circ$

次に、正弦定理を用いて辺bの長さを求めます。正弦定理とは、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

のことです。この式から、

$b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{\sqrt{2} \sin 135^\circ}{\sin 30^\circ}$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

したがって、

$b = \frac{\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2/2}{1/2} = 2$

最後に、再び正弦定理を用いて辺cの長さを求めます。

$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{\sqrt{2} \sin 15^\circ}{\sin 30^\circ}$

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

したがって、

$c = \frac{\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} = \frac{\sqrt{12} - 2}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{2} = \sqrt{3} - 1$

よって、$c = \sqrt{3}-1$

3. 最終的な答え

A = $30^\circ$

b = $2$

c = $\sqrt{3}-1$