三角形ABCにおいて、辺の長さが $a = \sqrt{7}, b = \sqrt{3}, c = 1$ であるとき、三角形の面積Sを $S = \frac{\sqrt{\text{イ}}}{\text{ウ}}$ の形で求めよ。

幾何学三角形面積ヘロンの公式辺の長さ
2025/7/23

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが a=7,b=3,c=1a = \sqrt{7}, b = \sqrt{3}, c = 1 であるとき、三角形の面積Sを S=S = \frac{\sqrt{\text{イ}}}{\text{ウ}} の形で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ヘロンの公式を使って三角形の面積を求めます。ヘロンの公式では、まずs(半周長)を計算する必要があります。
s=a+b+c2=7+3+12s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1}{2}
次に、ヘロンの公式を使って面積Sを求めます。
S=s(sa)(sb)(sc)S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
S=7+3+12(7+3+127)(7+3+123)(7+3+121)S = \sqrt{\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1}{2} (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1}{2} - \sqrt{7}) (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1}{2} - \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1}{2} - 1)}
S=7+3+12(7+3+12)(73+12)(7+312)S = \sqrt{\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1}{2} (\frac{-\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1}{2}) (\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3} + 1}{2}) (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3} - 1}{2})}
S=14(7+3+1)(7+3+1)(73+1)(7+31)S = \frac{1}{4} \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1) (-\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1) (\sqrt{7} - \sqrt{3} + 1) (\sqrt{7} + \sqrt{3} - 1)}
S=14((3+1)27)(7(31)2)S = \frac{1}{4} \sqrt{(( \sqrt{3} + 1)^2 - 7)(7 - (\sqrt{3} - 1)^2)}
S=14(3+23+17)(7(323+1))S = \frac{1}{4} \sqrt{(3 + 2\sqrt{3} + 1 - 7)(7 - (3 - 2\sqrt{3} + 1))}
S=14(233)(3+23)S = \frac{1}{4} \sqrt{(2\sqrt{3} - 3)(3 + 2\sqrt{3})}
S=14(23)232S = \frac{1}{4} \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}
S=14129S = \frac{1}{4} \sqrt{12 - 9}
S=143S = \frac{1}{4} \sqrt{3}
S=34S = \frac{\sqrt{3}}{4}
したがって、 =3\text{イ} = 3=4\text{ウ} = 4

3. 最終的な答え

S=34S = \frac{\sqrt{3}}{4}
イ = 3
ウ = 4

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