与えられた関数の極限値を求める問題です。穴埋め形式になっています。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$ (3) $\lim_{x\to \infty} \frac{\log x}{x}$ (4) $\lim_{x\to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x})$

1. 問題の内容

与えられた関数の極限値を求める問題です。穴埋め形式になっています。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

(3) $\lim_{x\to \infty} \frac{\log x}{x}$

(4) $\lim_{x\to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x})$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ の計算

分子を有理化します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x\to 0} \frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$

$x\to 0$のとき、$\sqrt{x+1} \to \sqrt{1} = 1$となるので、$\lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$ の計算

$\tan^{-1}x$の微分は$\frac{1}{1+x^2}$なので、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+x^2}$

$x\to 0$のとき、$1+x^2 \to 1$となるので、$\lim_{x\to 0} \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1} = 1$

(3) $\lim_{x\to \infty} \frac{\log x}{x}$ の計算

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x\to \infty} \frac{\log x}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x}$

$x\to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$となるので、$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$

(4) $\lim_{x\to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x})$ の計算

$\lim_{x\to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}) = \lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x\sin x}$

ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x\cos x}$

再びロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\cos x + \cos x - x\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2\cos x - x\sin x}$

再びロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2\cos x - x\sin x} = \frac{0}{2 - 0} = 0$

3. 最終的な答え

(1) [1] $\sqrt{x+1}+1$ [2] $\frac{1}{2}$

(2) [3] $\frac{1}{1+x^2}$ [4] $1$

(3) [5] $\frac{1}{x}$ [6] $0$

(4) [7] $\sin x + x\cos x$ [8] $2\cos x - x\sin x$ [9] $0$