二次関数 $y = 2x^2 + 6x + 9$ の、$0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2x^2 + 6x + 9$ の、$0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 6x + 9 = 2(x^2 + 3x) + 9 = 2(x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) + 9 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{9}{4}) + 9 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{18}{2} = 2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ です。

次に、$0 \le x \le 2$ の範囲で、グラフがどのように変化するかを考えます。

頂点の $x$ 座標は $-\frac{3}{2}$ なので、範囲 $0 \le x \le 2$ は頂点よりも右側にあります。したがって、$x$ が増加するにつれて、$y$ の値も増加します。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 + 6(0) + 9 = 9$

$x = 2$ のとき、$y = 2(2)^2 + 6(2) + 9 = 2(4) + 12 + 9 = 8 + 12 + 9 = 29$

したがって、$x = 0$ で最小値、$x = 2$ で最大値をとります。

3. 最終的な答え

最小値: 9

最大値: 29