行列 $A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ ($n$ は0以上の整数) を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ ($n$ は0以上の整数) を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A^2$ を計算する。

$A^2 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、$A^3$ を計算する。

$A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

次に、$A^4$ を計算する。

$A^4 = (A^2)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$

ここで、$I$ は単位行列である。

$A^5 = A^4 A = -A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$A^6 = A^4 A^2 = (-I) A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$A^7 = A^4 A^3 = (-I) A^3 = -A^3 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$A^8 = (A^4)^2 = (-I)^2 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、$A^n$ は周期8で繰り返す。

$n = 8k$ のとき $A^n = I$

$n = 8k+1$ のとき $A^n = A$

$n = 8k+2$ のとき $A^n = A^2$

$n = 8k+3$ のとき $A^n = A^3$

$n = 8k+4$ のとき $A^n = A^4 = -I$

$n = 8k+5$ のとき $A^n = A^5 = -A$

$n = 8k+6$ のとき $A^n = A^6 = -A^2$

$n = 8k+7$ のとき $A^n = A^7 = -A^3$

3. 最終的な答え

$A^n = \begin{cases}

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & (n \equiv 0 \pmod{8}) \\

\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} & (n \equiv 1 \pmod{8}) \\

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} & (n \equiv 2 \pmod{8}) \\

\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} & (n \equiv 3 \pmod{8}) \\

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} & (n \equiv 4 \pmod{8}) \\

\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} & (n \equiv 5 \pmod{8}) \\

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & (n \equiv 6 \pmod{8}) \\

\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} & (n \equiv 7 \pmod{8})

\end{cases}$