以下の2つの命題の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する問題です。 (1) $a+b$ と $ab$ がともに有理数ならば、$a$ と $b$ もともに有理数である。 (2) $x > y$ ならば、$-x < -y$ である。

1. 問題の内容

以下の2つの命題の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する問題です。

(1) $a+b$ と $ab$ がともに有理数ならば、$a$ と $b$ もともに有理数である。

(2) $x > y$ ならば、$-x < -y$ である。

2. 解き方の手順

(1) $a+b$ と $ab$ がともに有理数ならば、$a$ と $b$ もともに有理数であるかを確認します。

$a$ と $b$ を解とする2次方程式を考えます。解と係数の関係から、この2次方程式は

$t^2 - (a+b)t + ab = 0$

となります。

$a+b$ と $ab$ が有理数なので、この2次方程式の係数は有理数です。しかし、この2次方程式の解 $a$ と $b$ は必ずしも有理数とは限りません。例えば、$a+b=2$、$ab=1$ のとき、$t^2 - 2t + 1 = 0$ なので、$(t-1)^2 = 0$、$t = 1$ となり、$a=b=1$ で有理数となります。しかし、$a+b=1$, $ab=1$とすると、$t^2 - t + 1 = 0$ より $t = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ となり、$a, b$ は無理数になります。したがって、命題(1)は偽です。

(2) $x > y$ ならば、$-x < -y$ であるかを確認します。

$x > y$ の両辺に $-1$ を掛けると、不等号の向きが変わるので、$-x < -y$ となります。したがって、命題(2)は真です。

3. 最終的な答え

(1)偽 (2)真

選択肢の中から、(1)が偽で(2)が真の組み合わせを探すと、選択肢2が該当します。

したがって、答えは2です。