与えられた2次方程式 $4x^2 + 7x + 2 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $4x^2 + 7x + 2 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

この2次方程式を解くために、因数分解を使用します。

まず、$4x^2 + 7x + 2$ を因数分解します。

$4x^2 + 7x + 2 = (4x + a)(x + b)$ の形になると仮定します。

$ab = 2$ かつ $4b + a = 7$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a = 1$ と $b = 2$ の場合、$4b + a = 4(2) + 1 = 9$ となり、条件を満たしません。

$a = 2$ と $b = 1$ の場合、$4b + a = 4(1) + 2 = 6$ となり、条件を満たしません。

$a = 8$ と $b = 1/4$ の場合、$4b + a = 4(1/4) + 8 = 9$ となり、条件を満たしません。

因数分解を行う別の方法として、たすき掛けがあります。

$4x^2 + 7x + 2$ を因数分解するには、次の組み合わせを試します。

$(4x + 1)(x + 2) = 4x^2 + 8x + x + 2 = 4x^2 + 9x + 2$

$(4x + 2)(x + 1) = 4x^2 + 4x + 2x + 2 = 4x^2 + 6x + 2$

$(4x + a)(x + b)$ とすると、aとbの積が2になるので、(1,2), (2,1)が候補です。

$4x^2 + 7x + 2 = 0$ を満たす解は、

$(4x+1)(x+2) = 4x^2 + 8x + x + 2 = 4x^2 + 9x + 2$ なので、この因数分解は誤りです。

$(4x+8)(x+1/4)=4x^2+x+8x+2$

正しくは $(4x+a)(x+b)=4x^2+4bx+ax+ab=4x^2+(4b+a)x+ab$.　

$4b+a=7$かつ$ab=2$をみたす$a,b$を求める。

$a=7-4b$, $(7-4b)b=2$

$7b-4b^2=2$

$4b^2-7b+2=0$.　これは解けない。

代わりに解の公式を用います。

$ax^2 + bx + c = 0$ の解は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられます。

この場合、$a = 4$, $b = 7$, $c = 2$ なので、

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 32}}{8} = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{8}$

したがって、2つの解は

$x = \frac{-7 + \sqrt{17}}{8}$ および $x = \frac{-7 - \sqrt{17}}{8}$ です。

別の方法として、因数分解を試みます：

$4x^2+7x+2 = 4x^2 + x + 6x + 2 = x(4x+1) +2(3x+1)$.　これは無理です。

$4x^2+7x+2 = 4x^2+ 8x-x +2$. これも無理です。

$4x^2 + 7x+2 = (4x+a)(x+b) = 4x^2+(4b+a)x + ab$.

$ab=2, 4b+a=7$

$(4x+2)$ではうまくいきません。

残念ながら、きれいな因数分解はできません。解の公式を用います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4*4*2}}{2*4} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 32}}{8} = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{8}$.

3. 最終的な答え

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{8}$

つまり、$x = \frac{-7 + \sqrt{17}}{8}$ または $x = \frac{-7 - \sqrt{17}}{8}$ です。