与えられた等比数列 $1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, ...$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた等比数列 $1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, ...$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を利用する。

この等比数列の初項 $a$ は $1$、公比 $r$ は $5$ である。

等比数列の和の公式は以下の通りである。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

ここで、$a = 1$、$r = 5$ を代入すると、

$S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1}$

$S_n = \frac{5^n - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{5^n - 1}{4}$