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与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の8つの式について分母を有理化します。 (1) $\frac{3}{\sqrt{5}}$ (2) $\frac{4}{3\sqrt{2}}$ (3) $\frac{4}{\sqrt{18}}$ (4) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ (5) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{5}}$ (6) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (7) $\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ (8) $\frac{2+3\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$

代数学分母の有理化平方根式の計算
2025/7/24
はい、承知いたしました。与えられた8つの問題について、分母の有理化を行います。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の8つの式について分母を有理化します。
(1) 35\frac{3}{\sqrt{5}}
(2) 432\frac{4}{3\sqrt{2}}
(3) 418\frac{4}{\sqrt{18}}
(4) 23+1\frac{2}{\sqrt{3}+1}
(5) 32−5\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{5}}
(6) 15−3\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}
(7) 2−32+3\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}
(8) 2+322−2\frac{2+3\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母にルートが含まれている場合に、分母と分子に適切な数を掛けて、分母からルートを取り除く操作です。
(1) 35\frac{3}{\sqrt{5}}
分母分子に5\sqrt{5}を掛けます。
35=3555=355\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}
(2) 432\frac{4}{3\sqrt{2}}
分母分子に2\sqrt{2}を掛けます。
432=42322=423(2)=426=223\frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3(2)} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
(3) 418\frac{4}{\sqrt{18}}
まず18\sqrt{18}を簡単にします。18=9×2=32\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}。
418=432\frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}となり、(2)と同様に分母分子に2\sqrt{2}を掛けます。
432=42322=426=223\frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
(4) 23+1\frac{2}{\sqrt{3}+1}
分母分子に3−1\sqrt{3}-1を掛けます。
23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)3−1=2(3−1)2=3−1\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1
(5) 32−5\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{5}}
分母分子に2+52+\sqrt{5}を掛けます。
32−5=3(2+5)(2−5)(2+5)=23+154−5=23+15−1=−23−15\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4-5} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}}{-1} = -2\sqrt{3}-\sqrt{15}
(6) 15−3\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}
分母分子に5+3\sqrt{5}+\sqrt{3}を掛けます。
15−3=5+3(5−3)(5+3)=5+35−3=5+32\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}
(7) 2−32+3\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}
分母分子に2−32-\sqrt{3}を掛けます。
2−32+3=(2−3)(2−3)(2+3)(2−3)=4−43+34−3=7−431=7−43\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{4-4\sqrt{3}+3}{4-3} = \frac{7-4\sqrt{3}}{1} = 7-4\sqrt{3}
(8) 2+322−2\frac{2+3\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}
分母分子に2+22+\sqrt{2}を掛けます。
2+322−2=(2+32)(2+2)(2−2)(2+2)=4+22+62+64−2=10+822=5+42\frac{2+3\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{(2+3\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{4+2\sqrt{2}+6\sqrt{2}+6}{4-2} = \frac{10+8\sqrt{2}}{2} = 5+4\sqrt{2}

3. 最終的な答え

(1) 355\frac{3\sqrt{5}}{5}
(2) 223\frac{2\sqrt{2}}{3}
(3) 223\frac{2\sqrt{2}}{3}
(4) 3−1\sqrt{3}-1
(5) −23−15-2\sqrt{3}-\sqrt{15}
(6) 5+32\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}
(7) 7−437-4\sqrt{3}
(8) 5+425+4\sqrt{2}

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