$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ の極限を求める問題です。

分子と分母をそれぞれ $x^2$ で割ります。

これにより、$\frac{1}{x}$ の項が現れ、$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ となることを利用します。

まず、分子と分母を $x^2$ で割ると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}$

となります。

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{4 - 0 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4$

3. 最終的な答え

4