$z = f(x, y)$, $x = e^u + e^v$, $y = e^{-u} + e^{-v}$ のとき、 $\frac{\partial z}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial v} = x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y}$ を示す。

1. 問題の内容

$z = f(x, y)$, $x = e^u + e^v$, $y = e^{-u} + e^{-v}$ のとき、

$\frac{\partial z}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial v} = x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y}$

を示す。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を使って $\frac{\partial z}{\partial u}$ と $\frac{\partial z}{\partial v}$ を計算する。

まず、$\frac{\partial z}{\partial u}$ を計算する。

$z$ は $x$ と $y$ の関数であり、$x$ と $y$ は $u$ の関数であるから、

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial x}{\partial u} = e^u$

$\frac{\partial y}{\partial u} = -e^{-u}$

よって、

$\frac{\partial z}{\partial u} = e^u \frac{\partial z}{\partial x} - e^{-u} \frac{\partial z}{\partial y}$

同様に、$\frac{\partial z}{\partial v}$ を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$

$\frac{\partial x}{\partial v} = e^v$

$\frac{\partial y}{\partial v} = -e^{-v}$

よって、

$\frac{\partial z}{\partial v} = e^v \frac{\partial z}{\partial x} - e^{-v} \frac{\partial z}{\partial y}$

これらを足し合わせる。

$\frac{\partial z}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial v} = (e^u + e^v) \frac{\partial z}{\partial x} - (e^{-u} + e^{-v}) \frac{\partial z}{\partial y}$

問題文より、$x = e^u + e^v$, $y = e^{-u} + e^{-v}$ なので、

$\frac{\partial z}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial v} = x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y}$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial z}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial v} = x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y}$