(1) 条件 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、$h(x, y) = xy$ の最大値と最小値を求めよ。 (2) 条件 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$ の下で、$h(x, y) = x^2 + y^2$ の極値を求めよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

(1) 条件 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、$h(x, y) = xy$ の最大値と最小値を求めよ。

(2) 条件 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$ の下で、$h(x, y) = x^2 + y^2$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) について：

条件 $x^2 + y^2 = 1$ は、$(x, y)$ が単位円上にあることを意味します。

$x = \cos \theta$, $y = \sin \theta$ とおくと、$h(x, y) = xy = \cos \theta \sin \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ となります。

$\sin 2\theta$ の最大値は1、最小値は-1なので、$xy$ の最大値は $\frac{1}{2}$、最小値は $-\frac{1}{2}$ となります。

(2) について：

ラグランジュの未定乗数法を用いる。

$L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda (x^3 + y^3 - 3xy)$ とする。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda(3x^2 - 3y) = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda(3y^2 - 3x) = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^3 + y^3 - 3xy = 0$

上記の連立方程式を解く。

最初の2つの式から、

$2x = \lambda(3x^2 - 3y)$

$2y = \lambda(3y^2 - 3x)$

$\lambda = \frac{2x}{3x^2 - 3y} = \frac{2y}{3y^2 - 3x}$

$x(3y^2 - 3x) = y(3x^2 - 3y)$

$3xy^2 - 3x^2 = 3yx^2 - 3y^2$

$3xy^2 - 3x^2 - 3yx^2 + 3y^2 = 0$

$xy^2 - x^2 - yx^2 + y^2 = 0$

$(x-y)(y-x+1)=0$

(i) $x = y$ のとき、$x^3 + y^3 - 3xy = 2x^3 - 3x^2 = x^2(2x - 3) = 0$

$x = 0$ または $x = \frac{3}{2}$

$(0, 0)$ および $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$

$h(0, 0) = 0$, $h(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

(ii) $y = 0$

$x=0$,よって(0,0)

(iii) $x+y=1$

$x^3 + y^3 - 3xy = 0$

$x^3 + (1-x)^3 - 3x(1-x)=0$

$x^3 + 1 -3x + 3x^2 - x^3 - 3x + 3x^2=0$

$6x^2 - 6x + 1 = 0$

$x= \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{12} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}$

$x^2 + y^2 = x^2 + (1-x)^2 = 2x^2 - 2x +1 = 2(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{6})^2 - 2\frac{3 \pm \sqrt{3}}{6} + 1$

$= 2(\frac{9+3 \pm 6\sqrt{3}}{36}) - \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} +1 = \frac{12 \pm 6\sqrt{3}}{18} - \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} +1$

$=\frac{2 \pm \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3} = \frac{2 \pm \sqrt{3} - 3 \mp \sqrt{3} + 3 }{3}= \frac{2}{3}$

候補: $(0, 0)$, $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$, $(\frac{3 + \sqrt{3}}{6}, \frac{3 - \sqrt{3}}{6})$ など

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{1}{2}$、最小値: $-\frac{1}{2}$

(2) 極値の候補: $0$, $\frac{9}{2}$, $\frac{2}{3}$

$(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}, \frac{3 \mp \sqrt{3}}{6})$ で極値をとる。

$x^2 + y^2 = \frac{2}{3}$

$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ は極大値を与える

$x^2 + y^2 = \frac{9}{2}$

(0,0)も与えられた関数が0なので極小値である。