$0 \le \theta \le 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta - \sin \theta + 4 \cos \theta \le 2$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta - \sin \theta + 4 \cos \theta \le 2$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を用いて、不等式を書き換えます。

$$2 \sin \theta \cos \theta - \sin \theta + 4 \cos \theta \le 2$$

次に、$\sin \theta$ で項をまとめます。

$$\sin \theta (2 \cos \theta - 1) + 4 \cos \theta - 2 \le 0$$

$$\sin \theta (2 \cos \theta - 1) + 2(2 \cos \theta - 1) \le 0$$

$2 \cos \theta - 1$ でくくります。

$$(2 \cos \theta - 1)(\sin \theta + 2) \le 0$$

ここで、$\sin \theta$ の範囲は $-1 \le \sin \theta \le 1$ なので、$\sin \theta + 2$ は常に正の値をとります。したがって、不等式を満たすためには、$2 \cos \theta - 1 \le 0$ である必要があります。

$$2 \cos \theta - 1 \le 0$$

$$\cos \theta \le \frac{1}{2}$$

$0 \le \theta \le 2\pi$ において、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{5\pi}{3}$ です。

$\cos \theta \le \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$