$x \to \infty$ のとき、$y=e^x$ が $y=x^e$ と比較して、より急速に増大することを証明する。

1. 問題の内容

$x \to \infty$ のとき、$y=e^x$ が $y=x^e$ と比較して、より急速に増大することを証明する。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ において、$e^x$ が $x^e$ より急速に増大することを示すには、

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^e} = \infty$ を示す。

$\frac{e^x}{x^e}$ の対数をとると、

$\ln \left( \frac{e^x}{x^e} \right) = \ln(e^x) - \ln(x^e) = x - e\ln(x)$

$\lim_{x \to \infty} (x - e\ln(x))$ を考える。

これは $\infty - \infty$ の不定形である。$x$ で括り出すと、

$\lim_{x \to \infty} x \left( 1 - e\frac{\ln(x)}{x} \right)$

ここで、$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}$ を考える。これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるので、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x \left( 1 - e\frac{\ln(x)}{x} \right) = \infty (1 - e \cdot 0) = \infty \cdot 1 = \infty$

つまり、$\lim_{x \to \infty} \ln \left( \frac{e^x}{x^e} \right) = \infty$

よって、$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^e} = e^{\infty} = \infty$

したがって、$x \to \infty$ において、$e^x$ は $x^e$ より急速に増大する。

3. 最終的な答え

$x \to \infty$ において、$e^x$ は $x^e$ より急速に増大する。