以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$ であることに注意して、極限を計算します。

まず、$\sqrt{4x^2-3x+1} + 2x$ に共役な式 $\sqrt{4x^2-3x+1} - 2x$ を掛けて割ることで、式を変形します。

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{(4x^2 - 3x + 1) - (4x^2)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

分子と分母を $x$ で割ります。$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ ($x<0$のとき) であることに注意します。

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2 - 3x + 1}}{x} - 2}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2 - 3x + 1}}{-\sqrt{x^2}} - 2}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{\frac{4x^2 - 3x + 1}{x^2}} - 2}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2}$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ となるので、

$= \frac{-3}{-\sqrt{4} - 2} = \frac{-3}{-2 - 2} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$