長さが2cm, 3cm, 3cm, 4cm, 5cmの5本の棒があります。 (1) この5本の棒の中から3本を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。 (2) 三角形は全部で何通りできますか。

1. 問題の内容

長さが2cm, 3cm, 3cm, 4cm, 5cmの5本の棒があります。

(1) この5本の棒の中から3本を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。

(2) 三角形は全部で何通りできますか。

2. 解き方の手順

(1) 5本の棒の中から3本を選ぶ組み合わせの数を求めます。ただし、同じ長さの棒があることに注意が必要です。組み合わせの総数を計算した後、三角形にならない組み合わせを除きます。

5本の棒から3本を選ぶ組み合わせの総数は、重複を許さない組み合わせで計算します。5本から3本を選ぶ組み合わせは、

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

ただし、3cmの棒が2本あるため、異なる組み合わせを考慮する必要があります。具体的には、以下の組み合わせがあります。

(2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 4, 5), (3, 3, 4), (3, 3, 5), (3, 4, 5)

これらは全て異なる組み合わせなので、10通りとなります。

(2) 三角形が成立する条件は、最も長い辺の長さが、他の2辺の長さの和よりも小さいことです。

上記の組み合わせで、三角形にならないものを探します。

(2, 3, 3): 2 + 3 > 3 (三角形になる)

(2, 3, 4): 2 + 3 > 4 (三角形になる)

(2, 3, 5): 2 + 3 = 5 (三角形にならない)

(2, 4, 5): 2 + 4 > 5 (三角形になる)

(3, 3, 4): 3 + 3 > 4 (三角形になる)

(3, 3, 5): 3 + 3 > 5 (三角形になる)

(3, 4, 5): 3 + 4 > 5 (三角形になる)

三角形が成立しないのは(2,3,5)のみなので、三角形が成立するのは全部で10 - 1 = 6通りです。

三角形にならない組み合わせ: (2,3,5)

上記の計算に誤りがありました。5本の棒から3本を選ぶ組み合わせは10通りですが、同じ長さの棒があるため場合分けが必要です。

1. 3cmの棒を2本とも選ぶ場合：(3,3,2), (3,3,4), (3,3,5) の3通り

2. 3cmの棒を1本だけ選ぶ場合：(3,2,4), (3,2,5), (3,4,5) の3通り

3. 3cmの棒を選ばない場合：(2,4,5) の1通り

合計で3 + 3 + 1 = 7通り。

三角形が成立する条件を満たすものを探します。

(3,3,2): 3+2 > 3 (三角形になる)

(3,3,4): 3+3 > 4 (三角形になる)

(3,3,5): 3+3 > 5 (三角形になる)

(3,2,4): 2+3 > 4 (三角形になる)

(3,2,5): 2+3 = 5 (三角形にならない)

(3,4,5): 3+4 > 5 (三角形になる)

(2,4,5): 2+4 > 5 (三角形になる)

三角形にならないのは(3,2,5)のみなので、三角形が成立するのは全部で7 - 1 = 6通りです。

3. 最終的な答え

(1) 選び方は全部で 7 通り。

(2) 三角形は全部で 6 通り。