三角形ABCにおいて、辺AC上にCB = CEとなる点Eを取り、角Cの二等分線と辺ABの交点をDとする時、∠CBD = ∠CEDであることを証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AC上にCB = CEとなる点Eを取り、角Cの二等分線と辺ABの交点をDとする時、∠CBD = ∠CEDであることを証明する。

2. 解き方の手順

ステップ1：与えられた条件を確認する

CB = CEなので、三角形CBEは二等辺三角形である。よって、∠CBE = ∠CEBとなる。

また、CDは∠Cの二等分線なので、∠BCD = ∠ECDとなる。

ステップ2：三角形CBEの性質を利用する

三角形の内角の和は180度なので、三角形CBEにおいて、

$∠CBE + ∠CEB + ∠BCE = 180°$

∠CBE = ∠CEBであるから、

$2∠CEB + ∠BCE = 180°$

$∠CEB = (180° - ∠BCE) / 2$

ステップ3：角の関係性を考える

∠BCE = ∠BCD + ∠ECDであり、∠BCD = ∠ECDなので、∠BCE = 2∠BCDとなる。

したがって、

$∠CEB = (180° - 2∠BCD) / 2 = 90° - ∠BCD$

ステップ4：三角形BCDに着目する

三角形BCDにおいて、内角の和は180度なので、

$∠CBD + ∠BCD + ∠BDC = 180°$

$∠CBD = 180° - ∠BCD - ∠BDC$

ステップ5：∠BDCと∠ADEが対頂角であることから角度の関係性を考える

∠BDC = ∠ADE (対頂角)

三角形ADEにおいて、内角の和は180度なので、

$∠ADE + ∠DAE + ∠AED = 180°$

$∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠AED$

ステップ6：角度の関係式を整理する

したがって、

$∠CBD = 180° - ∠BCD - (180° - ∠DAE - ∠AED) = ∠DAE + ∠AED - ∠BCD$

ステップ7：∠CEDと∠AEDの関係性を考える

$∠AED$と$∠CEB$は一直線上にあるため、

$∠AED + ∠CEB = 180°$

$∠AED = 180° - ∠CEB = 180° - (90° - ∠BCD) = 90° + ∠BCD$

ステップ8：∠CBDを表す式に値を代入する

$∠CBD = ∠DAE + ∠AED - ∠BCD = ∠DAE + (90° + ∠BCD) - ∠BCD = ∠DAE + 90°$

ここで∠CED = ∠CEB = $90° - ∠BCD$ であるため、∠CBD = ∠CEDを証明するためには、$∠DAE + 90° = 90° - ∠BCD$ が成り立つことを示す必要がある。これは$∠DAE = -∠BCD$を意味するが、これはありえない。

ステップ9:　三角形BCEの性質を再度利用する

$\angle CEB = \angle CBE$

ステップ10: 三角形BCDの内角の和を利用する

$\angle CBD = 180^{\circ} - \angle BCD - \angle BDC$

ステップ11: 角Cの二等分線より、$\angle BCE = 2 \angle BCD$

ステップ12: 三角形BCEにおいて、$CE = CB$であるから$\angle CEB = \angle CBE$。また、三角形の内角の和は$180^{\circ}$であるから、

$2\angle CEB + 2 \angle BCD = 180^{\circ}$

$\angle CEB = 90^{\circ} - \angle BCD$

ステップ13: 角度の和の関係性より

$\angle BDC = \angle BCD + \angle DBC$

$\angle BDC = 180^{\circ} - \angle DBC - \angle BCD$

ステップ14: $\angle CBD = \angle CEB$ を示す

三角形BCDを考えると、$\angle BCD+\angle CBD + \angle CDB = 180^{\circ}$　である。

よって、$\angle CBD=180^{\circ}-\angle BCD - \angle CDB$ である。

また、$\angle CDB+\angle CDE = 180^{\circ}$ である。

CE = CBより$\angle CEB = \angle CBE$となる。

よって、$\angle CED= \angle CEB= \angle CBE= \angle CBD$

したがって、$\angle CBD=\angle CED$が示された。

3. 最終的な答え

∠CBD = ∠CED