(1) $\triangle ABC$ において $AB=5$, $BC=12$, $CA=9$ である。$\triangle ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$AI:ID$ を求めよ。 (2) 鋭角三角形 $ABC$ において、$AB=4$ とする。辺 $AC$ を $7:3$ に内分する点を $D$ とし、辺 $BC$ を $7:15$ に内分する点を $E$ とする。2点 $D, E$ を通る直線 $l$ と 2点 $A, B$ を通る直線の交点を $P$ とするとき、$AP$ を求めよ。また、直線 $l$ と三角形 $ABC$ の外接円との2つの交点のうち $P$ に近いほうの交点を $Q$ とし、他の交点を $R$ とする。このとき、$QR=4$ ならば、$PQ$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において $AB=5$, $BC=12$, $CA=9$ である。$\triangle ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$AI:ID$ を求めよ。

(2) 鋭角三角形 $ABC$ において、$AB=4$ とする。辺 $AC$ を $7:3$ に内分する点を $D$ とし、辺 $BC$ を $7:15$ に内分する点を $E$ とする。2点 $D, E$ を通る直線 $l$ と 2点 $A, B$ を通る直線の交点を $P$ とするとき、$AP$ を求めよ。また、直線 $l$ と三角形 $ABC$ の外接円との2つの交点のうち $P$ に近いほうの交点を $Q$ とし、他の交点を $R$ とする。このとき、$QR=4$ ならば、$PQ$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$BD:DC = AB:AC$ (角の二等分線の性質)

$BD:DC = 5:9$

$BD = BC \times \frac{5}{5+9} = 12 \times \frac{5}{14} = \frac{60}{14} = \frac{30}{7}$

$AI:ID = (AB+AC):BC$ (内心の性質)

$AI:ID = (5+9):12 = 14:12 = 7:6$

(2)

チェバの定理の逆より、$AD, BE, CF$ が1点で交わることを示す。

メネラウスの定理を用いる。

$D$ は $AC$ を $7:3$ に内分するので $AD/DC = 7/3$。

$E$ は $BC$ を $7:15$ に内分するので $BE/EC = 7/15$。

直線 $DE$ と直線 $AB$ の交点を $P$ とする。メネラウスの定理より

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BE}{EC} \times \frac{CD}{DA} = 1$

$\frac{AP}{PB} \times \frac{7}{15} \times \frac{3}{7} = 1$

$\frac{AP}{PB} \times \frac{1}{5} = 1$

$\frac{AP}{PB} = 5$

$AP = 5PB$

$AB = AP - PB = 5PB - PB = 4PB$

$PB = AB/4 = 4/4 = 1$

$AP = 5PB = 5$

方べきの定理より、$PQ \times PR = PA \times PB$

$PQ \times (PQ + QR) = AP \times PB$

$PQ \times (PQ + 4) = 5 \times 1 = 5$

$PQ^2 + 4PQ - 5 = 0$

$(PQ+5)(PQ-1) = 0$

$PQ>0$ より $PQ = 1$

3. 最終的な答え

(1) $AI:ID = 7:6$

(2) $AP = 5$, $PQ = 1$