領域 $D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge 0\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ を計算します。

## 問題 (4)

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge 0\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。

$x^2 + y^2 = r^2$ なので、領域Dは $1 \le r^2 \le 4$ かつ $y \ge 0$ となることから、$1 \le r \le 2$ かつ $0 \le \theta \le \pi$ となります。

ヤコビアンは $r$ なので、$dxdy = rdrd\theta$ となります。

したがって、二重積分は次のようになります。

$\iint_D x^2 dxdy = \int_0^\pi \int_1^2 (r\cos\theta)^2 r dr d\theta = \int_0^\pi \int_1^2 r^3 \cos^2\theta dr d\theta$

積分を計算します。

$\int_1^2 r^3 dr = \left[\frac{1}{4}r^4\right]_1^2 = \frac{1}{4}(16 - 1) = \frac{15}{4}$

$\int_0^\pi \cos^2\theta d\theta = \int_0^\pi \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \left[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_0^\pi = \frac{\pi}{2}$

よって、

$\iint_D x^2 dxdy = \int_0^\pi \int_1^2 r^3 \cos^2\theta dr d\theta = \frac{15}{4} \cdot \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{15\pi}{8}$