領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, y \ge x, y \le -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy$ を計算します。

## 問題 (5)

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, y \ge x, y \le -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 積分領域の確認:

$x^2 + y^2 \le 1$ は原点中心、半径1の円の内部を表します。

$y \ge x$ は直線 $y = x$ の上側を表します。

$y \le -x$ は直線 $y = -x$ の下側を表します。

したがって、積分領域 $D$ は、原点中心、半径1の円の内部で、直線 $y = x$ の上側かつ直線 $y = -x$ の下側の領域、つまり、第2象限の扇形です。扇形の中心角は $\pi/2$ となります。

(2) 極座標変換:

極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を行います。

$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となります。

積分領域 $D$ は、極座標では $0 \le r \le 1$, $\pi/2 \le \theta \le \pi$ となります。

(3) 二重積分の計算:

$\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy = \int_{\pi/2}^{\pi} \int_0^1 (r \cos \theta)^2 (r \sin \theta)^2 r \, dr \, d\theta$

$= \int_{\pi/2}^{\pi} \int_0^1 r^5 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, dr \, d\theta$

$= \int_{\pi/2}^{\pi} \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta \int_0^1 r^5 \, dr$

まず、$\int_0^1 r^5 \, dr = \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6}$.

次に、$\int_{\pi/2}^{\pi} \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta = \int_{\pi/2}^{\pi} (\cos \theta \sin \theta)^2 \, d\theta = \int_{\pi/2}^{\pi} \left( \frac{1}{2} \sin 2\theta \right)^2 \, d\theta$

$= \frac{1}{4} \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2 2\theta \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{1 - \cos 4\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{8} \int_{\pi/2}^{\pi} (1 - \cos 4\theta) \, d\theta$

$= \frac{1}{8} \left[ \theta - \frac{1}{4} \sin 4\theta \right]_{\pi/2}^{\pi} = \frac{1}{8} \left[ \left( \pi - \frac{1}{4} \sin 4\pi \right) - \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \sin 2\pi \right) \right]$

$= \frac{1}{8} \left( \pi - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16}$.

したがって、

$\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy = \frac{\pi}{16} \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi}{96}$.

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{96}$

## 問題 (6)

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$ 上で、二重積分 $\iint_D \log (x^2 + y^2) \, dx \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 積分領域の確認:

$1 \le x^2 + y^2 \le 4$ は、原点中心で半径1の円と半径2の円で囲まれた領域（円環）を表します。

(2) 極座標変換:

極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を行います。

$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となります。

$x^2 + y^2 = r^2$ となります。

積分領域 $D$ は、極座標では $1 \le r \le 2$, $0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

(3) 二重積分の計算:

$\iint_D \log (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \log (r^2) r \, dr \, d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_1^2 2 \log r \cdot r \, dr \, d\theta = 2 \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 r \log r \, dr$

まず、$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$.

次に、$\int_1^2 r \log r \, dr$ を計算します。部分積分法を使います。

$u = \log r$, $dv = r \, dr$ とすると、$du = \frac{1}{r} \, dr$, $v = \frac{r^2}{2}$.

$\int_1^2 r \log r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \log r \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{r^2}{2} \cdot \frac{1}{r} \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \log r \right]_1^2 - \frac{1}{2} \int_1^2 r \, dr$

$= \left( \frac{4}{2} \log 2 - \frac{1}{2} \log 1 \right) - \frac{1}{2} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_1^2 = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right)$

$= 2 \log 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 2 \log 2 - \frac{3}{4}$.

したがって、

$\iint_D \log (x^2 + y^2) \, dx \, dy = 2 \cdot 2\pi \left( 2 \log 2 - \frac{3}{4} \right) = 4\pi \left( 2 \log 2 - \frac{3}{4} \right) = 8\pi \log 2 - 3\pi$.

3. 最終的な答え

$8\pi \log 2 - 3\pi$