領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, y \ge x, y \le -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2y^2 \, dxdy$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, y \ge x, y \le -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2y^2 \, dxdy$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を極座標変換します。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$x^2 + y^2 \le 1$ は $r^2 \le 1$, つまり $0 \le r \le 1$ となります。

次に、$y \ge x$ は $r\sin\theta \ge r\cos\theta$ より $\sin\theta \ge \cos\theta$ となり、これは $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ を意味します。

$y \le -x$ は $r\sin\theta \le -r\cos\theta$ より $\sin\theta \le -\cos\theta$ となり、これは $\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{7\pi}{4}$ を意味します。

両方の条件を満たすのは、$\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ です。

したがって、積分領域は $0 \le r \le 1$ かつ $\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ となります。

ヤコビアンは $r$ なので、二重積分は以下のように変換されます。

$\iint_D x^2y^2 \, dxdy = \int_{3\pi/4}^{5\pi/4} \int_0^1 (r\cos\theta)^2(r\sin\theta)^2 r \, dr d\theta$

$= \int_{3\pi/4}^{5\pi/4} \int_0^1 r^5 \cos^2\theta \sin^2\theta \, dr d\theta$

$= \int_{3\pi/4}^{5\pi/4} \cos^2\theta \sin^2\theta \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^1 d\theta$

$= \frac{1}{6} \int_{3\pi/4}^{5\pi/4} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta$

$= \frac{1}{6} \int_{3\pi/4}^{5\pi/4} \frac{1}{4} \sin^2(2\theta) \, d\theta$

$= \frac{1}{24} \int_{3\pi/4}^{5\pi/4} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} \, d\theta$

$= \frac{1}{48} \int_{3\pi/4}^{5\pi/4} (1 - \cos(4\theta)) \, d\theta$

$= \frac{1}{48} \left[ \theta - \frac{1}{4}\sin(4\theta) \right]_{3\pi/4}^{5\pi/4}$

$= \frac{1}{48} \left[ \frac{5\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin(5\pi) - \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{4}\sin(3\pi) \right]$

$= \frac{1}{48} \left[ \frac{2\pi}{4} - 0 + 0 \right]$

$= \frac{1}{48} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{96}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{96}$