領域$D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1, y \geq x, y \leq -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域$D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1, y \geq x, y \leq -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

領域$D$は、$x^2 + y^2 \leq 1$（半径1の円盤）と、$y \geq x$ および $y \leq -x$（直線$y=x$と$y=-x$の間）で定義されます。この領域は第2象限の扇形です。

極座標変換 $x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ を用います。

領域 $D$ は、極座標で $0 \leq r \leq 1$ および $\frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{4}$ と表されます。

ヤコビアンは $r$ です。

よって、積分は次のようになります。

$$\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \int_0^1 (r \cos\theta)^2 (r \sin\theta)^2 r \, dr \, d\theta = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \int_0^1 r^5 \cos^2\theta \sin^2\theta \, dr \, d\theta$$

まず $r$ で積分します。

$$\int_0^1 r^5 \, dr = \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6}$$

次に $\theta$ で積分します。

$$\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \frac{1}{4} \sin^2(2\theta) \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} \, d\theta = \frac{1}{8} \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (1 - \cos(4\theta)) \, d\theta$$

$$\frac{1}{8} \left[ \theta - \frac{1}{4} \sin(4\theta) \right]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = \frac{1}{8} \left[ \left( \frac{5\pi}{4} - \frac{1}{4} \sin(5\pi) \right) - \left( \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{4} \sin(3\pi) \right) \right] = \frac{1}{8} \left( \frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{2\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{16}$$

したがって、

$$\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy = \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{16} = \frac{\pi}{96}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{96}$