以下の6つの定積分を計算します。 (1) $\int_1^2 \left(3 + \frac{2}{x}\right)^2 dx$ (2) $\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{2}{\cos^2 x} dx$ (3) $\int_5^6 (x-5)^7 dx$ (4) $\int_{-1}^2 \frac{x}{\sqrt{3-x}} dx$ (5) $\int_1^2 x \log x dx$ (6) $\int_1^e (\log x)^2 dx$

## 定積分の問題

与えられた6つの定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の6つの定積分を計算します。

(1) $\int_1^2 \left(3 + \frac{2}{x}\right)^2 dx$

(2) $\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{2}{\cos^2 x} dx$

(3) $\int_5^6 (x-5)^7 dx$

(4) $\int_{-1}^2 \frac{x}{\sqrt{3-x}} dx$

(5) $\int_1^2 x \log x dx$

(6) $\int_1^e (\log x)^2 dx$

2. 解き方の手順

**(1) $\int_1^2 \left(3 + \frac{2}{x}\right)^2 dx$**

まず、積分の中身を展開します。

$\left(3 + \frac{2}{x}\right)^2 = 9 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2}$

次に、積分を実行します。

$\int_1^2 \left(9 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2}\right) dx = \left[9x + 12\log |x| - \frac{4}{x}\right]_1^2$

積分範囲を代入して計算します。

$= \left(18 + 12\log 2 - 2\right) - \left(9 + 12\log 1 - 4\right) = 16 + 12\log 2 - (5) = 11 + 12\log 2$

**(2) $\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{2}{\cos^2 x} dx$**

$\frac{1}{\cos^2 x}$ は $\tan x$ の微分であるため、

$\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{2}{\cos^2 x} dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = 2 [\tan x]_0^{\frac{\pi}{6}}$

積分範囲を代入して計算します。

$2\left(\tan \frac{\pi}{6} - \tan 0\right) = 2\left(\frac{1}{\sqrt{3}} - 0\right) = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

**(3) $\int_5^6 (x-5)^7 dx$**

$u = x - 5$ と置換すると、$du = dx$。 積分範囲は $x=5$ で $u=0$, $x=6$ で $u=1$ となります。

$\int_5^6 (x-5)^7 dx = \int_0^1 u^7 du = \left[\frac{u^8}{8}\right]_0^1 = \frac{1}{8} - 0 = \frac{1}{8}$

**(4) $\int_{-1}^2 \frac{x}{\sqrt{3-x}} dx$**

$u = 3 - x$ と置換すると、$x = 3 - u$, $dx = -du$。積分範囲は $x=-1$ で $u=4$, $x=2$ で $u=1$ となります。

$\int_{-1}^2 \frac{x}{\sqrt{3-x}} dx = \int_4^1 \frac{3-u}{\sqrt{u}} (-du) = \int_1^4 \frac{3-u}{\sqrt{u}} du = \int_1^4 \left(\frac{3}{\sqrt{u}} - \sqrt{u}\right) du$

$\int_1^4 \left(3u^{-\frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}}\right) du = \left[6u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_1^4 = \left(6(2) - \frac{2}{3}(8)\right) - \left(6 - \frac{2}{3}\right)$

$= 12 - \frac{16}{3} - 6 + \frac{2}{3} = 6 - \frac{14}{3} = \frac{18 - 14}{3} = \frac{4}{3}$

**(5) $\int_1^2 x \log x dx$**

部分積分を利用します。 $u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$

$\int_1^2 x \log x dx = \left[\frac{x^2}{2} \log x\right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \left[\frac{x^2}{2} \log x\right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x}{2} dx$

$= \left[\frac{x^2}{2} \log x\right]_1^2 - \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^2 = (2\log 2 - 0) - (1 - \frac{1}{4}) = 2\log 2 - \frac{3}{4}$

**(6) $\int_1^e (\log x)^2 dx$**

部分積分を2回利用します。 $u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とすると、$du = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$, $v = x$

$\int_1^e (\log x)^2 dx = [x(\log x)^2]_1^e - \int_1^e x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = [x(\log x)^2]_1^e - 2\int_1^e \log x dx$

$= (e(\log e)^2 - 1(\log 1)^2) - 2\int_1^e \log x dx = e - 2\int_1^e \log x dx$

ここで、$\int_1^e \log x dx$ を計算します。 $u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$

$\int_1^e \log x dx = [x\log x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} dx = (e\log e - 1\log 1) - \int_1^e dx = e - [x]_1^e = e - (e - 1) = 1$

したがって、$\int_1^e (\log x)^2 dx = e - 2(1) = e - 2$

3. 最終的な答え

(1) $11 + 12\log 2$

(2) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(3) $\frac{1}{8}$

(4) $\frac{4}{3}$

(5) $2\log 2 - \frac{3}{4}$

(6) $e - 2$