(1) $h>0$とし、$n$を3以上の整数とするとき、不等式 $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つことを示しなさい。 (2) $-1<r<1$のとき、$\lim_{n\to\infty} n^2r^n = 0$ が成り立つことを示しなさい。

1. 問題の内容

(1) $h>0$とし、$n$を3以上の整数とするとき、不等式 $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つことを示しなさい。

(2) $-1<r<1$のとき、$\lim_{n\to\infty} n^2r^n = 0$ が成り立つことを示しなさい。

2. 解き方の手順

(1)

二項定理を用いて $(1+h)^n$ を展開します。

$$(1+h)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}h^k = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}h + \binom{n}{2}h^2 + \binom{n}{3}h^3 + \cdots + \binom{n}{n}h^n$$

ここで、$n \ge 3$なので、

$$(1+h)^n = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3 + \cdots + h^n$$

$h>0$より、

$$(1+h)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3$$

したがって、

$$(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$$

が成り立ちます。

(2)

$-1<r<1$なので、$r=\frac{1}{1+h}$とおくと、$h>0$となります。

$\lim_{n\to\infty}n^2r^n = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{(1+h)^n}$を考えます。

(1)より、$(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$が成り立つので、

$$0 < \frac{n^2}{(1+h)^n} < \frac{n^2}{\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3} = \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)h^3} = \frac{6n}{(n-1)(n-2)h^3}$$

ここで、$\lim_{n\to\infty} \frac{6n}{(n-1)(n-2)h^3} = \lim_{n\to\infty} \frac{6n}{n^2 - 3n + 2} \cdot \frac{1}{h^3} = \lim_{n\to\infty} \frac{6/n}{1 - 3/n + 2/n^2} \cdot \frac{1}{h^3} = 0$

したがって、$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{(1+h)^n} = 0$

よって、$\lim_{n\to\infty} n^2r^n = 0$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つ。

(2) $\lim_{n\to\infty} n^2r^n = 0$ が成り立つ。