以下の2つの式を因数分解する問題です。 (1) $abc+ab+bc+ca+a+b+c+1$ (2) $a^2b+ab^2+a+b-ab-1$

1. 問題の内容

以下の2つの式を因数分解する問題です。

(1) $abc+ab+bc+ca+a+b+c+1$

(2) $a^2b+ab^2+a+b-ab-1$

2. 解き方の手順

(1)

まず、式全体を共通因数でくくることを試みますが、難しいようです。

次に、$a$について整理してみます。

$abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 = (bc+b+c+1)a + (bc+b+c+1)$

$= (a+1)(bc+b+c+1)$

$= (a+1)(b(c+1) + (c+1))$

$= (a+1)(b+1)(c+1)$

(2)

まず、$a$について整理してみます。

$a^2b+ab^2+a+b-ab-1 = ba^2 + (b^2-b+1)a + (b-1)$

たすき掛けで因数分解できるか考えます。

$b \times 1 = b$

$1 \times (b-1) = b-1$

足すと$2b-1$となり、$b^2-b+1$とは一致しません。

次に、$b$について整理してみます。

$a^2b+ab^2+a+b-ab-1 = (a^2+a^2-a+1)b + (a-1)$

$= (a^2+a^2-a+1)b + (a-1)$

$=(a^2 + a^2-a+1)b + (a-1)$

$=(a^2+a^2-a+1)b + (a-1)$

$=(a^2+a^2-a+1)b + (a-1)$

$b(a^2+a^2-a+1) + (a-1)$

$a^2b+ab^2+a+b-ab-1$

$= (a^2+ab+1)b + a-1$

式を$b$について整理すると、

$a^2b + ab^2 + a + b - ab - 1 = (a^2 + ab + 1)b + (a-1)$

式全体を見渡すと、

$a^2b+ab^2-ab+a+b-1 = ab(a+b-1) + (a+b-1)$

$= (ab+1)(a+b-1)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+1)(b+1)(c+1)$

(2) $(ab+1)(a+b-1)$