$x = \frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})$ (ただし、$a > 0$、$a \neq 1$) のとき、$(x + \sqrt{x^2 - 1})^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})$ (ただし、$a > 0$、$a \neq 1$) のとき、$(x + \sqrt{x^2 - 1})^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ を計算します。

$x^2 = \left(\frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})\right)^2 = \frac{1}{4}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2$

$x^2 = \frac{1}{4}(a + 2 + a^{-1})$

次に、$x^2 - 1$ を計算します。

$x^2 - 1 = \frac{1}{4}(a + 2 + a^{-1}) - 1 = \frac{1}{4}(a + 2 + a^{-1} - 4)$

$x^2 - 1 = \frac{1}{4}(a - 2 + a^{-1}) = \frac{1}{4}(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}})^2$

$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{1}{4}(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}})^2} = \frac{1}{2}|a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}|$

ここで、$a>0, a\neq 1$より、$a^{1/2} > 0, a^{-1/2} > 0$ なので、$a^{1/2} - a^{-1/2}$ の正負が問題になります。

場合分けをします。

(i) $a>1$のとき、$a^{1/2} > 1$かつ$a^{-1/2} < 1$なので、$a^{1/2} > a^{-1/2}$。よって$\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{2}(a^{1/2} - a^{-1/2})$

(ii) $0<a<1$のとき、$a^{1/2} < 1$かつ$a^{-1/2} > 1$なので、$a^{1/2} < a^{-1/2}$。よって$\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{2}(a^{-1/2} - a^{1/2})$

いずれにしても、

$x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}|a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}|$

(i) $a>1$のとき、$x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}(2a^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}}$

(ii) $0<a<1$のとき、$x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}(a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}(2a^{-\frac{1}{2}}) = a^{-\frac{1}{2}}$

したがって、$(x + \sqrt{x^2 - 1})^2$ は、

(i) $a>1$のとき、$(a^{\frac{1}{2}})^2 = a$

(ii) $0<a<1$のとき、$(a^{-\frac{1}{2}})^2 = a^{-1}$

しかし問題文の指示より、$a > 1$ または $0 < a < 1$のどちらの場合を考慮すればいいか不明である。よって、以下のように答えます。

$a>1$のとき$(x + \sqrt{x^2 - 1})^2 = a$

$0<a<1$のとき$(x + \sqrt{x^2 - 1})^2 = a^{-1}$

3. 最終的な答え

$a>1$のとき、$(x + \sqrt{x^2 - 1})^2 = a$

$0<a<1$のとき、$(x + \sqrt{x^2 - 1})^2 = \frac{1}{a}$