3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x + a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x + a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を $x^3 - 3x^2 - 9x = -a$ と変形する。左辺を $f(x)$ とおくと、$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$ となる。

$f(x)$ のグラフを描き、$y = -a$ のグラフとの交点の個数を考えることで、3次方程式が異なる3つの実数解を持つ条件を求める。

$f(x)$ を微分すると、$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$ となる。

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 3$ と $x = -1$ のときである。

増減表は以下のようになる。

x | ... | -1 | ... | 3 | ...

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

f'(x) | + | 0 | - | 0 | +

f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$

$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$

よって、$f(x)$ は $x = -1$ で極大値 5 を取り、$x = 3$ で極小値 -27 を取る。

3次方程式 $f(x) = -a$ が異なる3つの実数解を持つためには、$y = f(x)$ のグラフと $y = -a$ のグラフが3点で交わる必要がある。

そのためには、極大値と極小値の間に $y = -a$ が存在する必要がある。

つまり、$-27 < -a < 5$ となる。

この不等式を解くと、$27 > a > -5$ となる。

3. 最終的な答え

$-5 < a < 27$