$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の値を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の値を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数の値を計算します。

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9} = \log_{2^{-1}} 9^{-1} = \log_{2^{-1}} 3^{-2} = \frac{-2}{-1} \log_2 3 = 2 \log_2 3 = \log_2 3^2 = \log_2 9$

$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3} = \log_{4^{-1}} 3^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_4 3 = \log_4 3 = \log_{2^2} 3 = \frac{1}{2} \log_2 3$

$\log_{\frac{1}{8}} 3 = \log_{8^{-1}} 3 = - \log_8 3 = - \log_{2^3} 3 = - \frac{1}{3} \log_2 3$

ここで、$\log_2 3$ は正の値であることに注意します。なぜなら $2^1 = 2 < 3$ であり、$2^2 = 4 > 3$ なので、$1 < \log_2 3 < 2$ です。

したがって、$-\frac{1}{3} \log_2 3 < \frac{1}{2} \log_2 3 < 2 \log_2 3$ が成り立ちます。

よって、$\log_{\frac{1}{8}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3} < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{8}} 3$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$