与えられた2つの式から、$r$の値を求めます。 式1: $\frac{a(r^{10}-1)}{r-1} = 3$ 式2: $\frac{a(r^{30}-1)}{r-1} = 21$

1. 問題の内容

与えられた2つの式から、$r$の値を求めます。

式1: $\frac{a(r^{10}-1)}{r-1} = 3$

式2: $\frac{a(r^{30}-1)}{r-1} = 21$

2. 解き方の手順

まず、式2を式1で割ります。

$\frac{\frac{a(r^{30}-1)}{r-1}}{\frac{a(r^{10}-1)}{r-1}} = \frac{21}{3}$

$\frac{a(r^{30}-1)}{r-1} \cdot \frac{r-1}{a(r^{10}-1)} = 7$

$\frac{r^{30}-1}{r^{10}-1} = 7$

ここで、$r^{30}-1$を因数分解します。

$r^{30}-1 = (r^{10})^3 - 1 = (r^{10}-1)((r^{10})^2 + r^{10} + 1) = (r^{10}-1)(r^{20} + r^{10} + 1)$

これを代入すると、

$\frac{(r^{10}-1)(r^{20}+r^{10}+1)}{r^{10}-1} = 7$

$r^{20}+r^{10}+1 = 7$

$r^{20}+r^{10}-6 = 0$

ここで、$x = r^{10}$とおくと、$x^2 + x - 6 = 0$となります。

この2次方程式を解くと、

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

したがって、$r^{10} = -3$ または $r^{10} = 2$となります。

$r^{10}=-3$の場合、$r$は複素数になります。

$r^{10}=2$の場合、$r = \pm \sqrt[10]{2}$となります。

ここで式1と式2に、$r^{10} = 2$を代入して、$a$の値を計算してみます。

式1: $\frac{a(2-1)}{r-1} = 3$より、$\frac{a}{r-1}=3$、$a = 3(r-1)$

式2: $\frac{a(2^3-1)}{r-1} = 21$より、$\frac{7a}{r-1} = 21$、$\frac{a}{r-1} = 3$、$a = 3(r-1)$

$r^{10}=-3$の時は実数解ではないので、$r^{10}=2$の時を考える。

$r^{10} = 2$より、$r = \pm 2^{\frac{1}{10}}$

3. 最終的な答え

$r^{10} = 2$

$r = \pm \sqrt[10]{2}$

$r = \pm 2^{\frac{1}{10}}$