不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$2^n < 1000$ の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10} 2^n < \log_{10} 1000$

$n \log_{10} 2 < \log_{10} 10^3$

$n \log_{10} 2 < 3$

$\log_{10} 2 = 0.3010$ を代入します。

$n \times 0.3010 < 3$

$n < \frac{3}{0.3010}$

$n < \frac{3000}{301}$

$n < 9.96677...$

$n$ は整数なので、$2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ は 9 です。

実際に確認してみましょう。

$2^9 = 512 < 1000$

$2^{10} = 1024 > 1000$

したがって、$2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ は 9 です。

3. 最終的な答え

9