$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ のとき、$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ のとき、$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}$ を3乗することを考える。

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}})^3 + 3(a^{\frac{1}{2}})^2(a^{-\frac{1}{2}}) + 3(a^{\frac{1}{2}})(a^{-\frac{1}{2}})^2 + (a^{-\frac{1}{2}})^3$

これを整理すると、

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{3}{2}} + 3a^{\frac{2}{2}-\frac{1}{2}} + 3a^{\frac{1}{2}-\frac{2}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{3}{2}} + 3a^{\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{1}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 3(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})$

ここで、$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ を代入する。

$3^3 = a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 3 \cdot 3$

$27 = a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 9$

$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 27 - 9$

$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 18$

3. 最終的な答え

18