$2^x - 2^{-x} = 1$ のとき、次の式の値を求めよ。 (ア) $4^x + 4^{-x}$ (イ) $2^x + 2^{-x}$ (ウ) $8^x - 8^{-x}$

1. 問題の内容

$2^x - 2^{-x} = 1$ のとき、次の式の値を求めよ。

(ア) $4^x + 4^{-x}$

(イ) $2^x + 2^{-x}$

(ウ) $8^x - 8^{-x}$

2. 解き方の手順

(ア) $4^x + 4^{-x}$ を求める。

$4^x = (2^x)^2$ であり、$4^{-x} = (2^{-x})^2$ である。

$(2^x - 2^{-x})^2 = (2^x)^2 - 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2$

$(2^x - 2^{-x})^2 = 4^x - 2 + 4^{-x}$

問題より $2^x - 2^{-x} = 1$ なので、

$1^2 = 4^x - 2 + 4^{-x}$

$1 = 4^x - 2 + 4^{-x}$

$4^x + 4^{-x} = 1 + 2 = 3$

(イ) $2^x + 2^{-x}$ を求める。

$(2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2$

$(2^x + 2^{-x})^2 = 4^x + 2 + 4^{-x}$

(ア) より $4^x + 4^{-x} = 3$ なので、

$(2^x + 2^{-x})^2 = 3 + 2 = 5$

$2^x + 2^{-x} = \sqrt{5}$

ここで、$2^x > 0$ かつ $2^{-x} > 0$ より、$2^x + 2^{-x} > 0$ なので、$2^x + 2^{-x} = -\sqrt{5}$ は解として不適。

(ウ) $8^x - 8^{-x}$ を求める。

$8^x = (2^x)^3$ であり、$8^{-x} = (2^{-x})^3$ である。

$8^x - 8^{-x} = (2^x)^3 - (2^{-x})^3$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用すると、

$(2^x)^3 - (2^{-x})^3 = (2^x - 2^{-x})((2^x)^2 + (2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2)$

$(2^x)^3 - (2^{-x})^3 = (2^x - 2^{-x})(4^x + 1 + 4^{-x})$

問題より $2^x - 2^{-x} = 1$ であり、(ア) より $4^x + 4^{-x} = 3$ なので、

$8^x - 8^{-x} = (1)(3 + 1) = 4$

3. 最終的な答え

(ア) 3

(イ) $\sqrt{5}$

(ウ) 4