$4x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解せよ。

## 問題の解答

以下、画像にある問題のうち、私が解けるものを解きます。

### 問題1

1. 問題の内容

$4x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$の項をまとめます。

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1)$

$(y^2 - 2y + 1)$ は $(y-1)^2$ と因数分解できるので、

$4x^2 - (y - 1)^2$

これは、和と差の積の形 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ が利用できます。

$a = 2x$, $b = y-1$ とすると、

$(2x + (y - 1))(2x - (y - 1))$

$(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

### 問題2

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$, $b = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ のとき、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$a$ と $b$ をそれぞれ有理化します。

$a = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 - 2\sqrt{6}$

$b = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 + 2\sqrt{6}$

$a^2 = (5 - 2\sqrt{6})^2 = 25 - 20\sqrt{6} + 24 = 49 - 20\sqrt{6}$

$b^2 = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 25 + 20\sqrt{6} + 24 = 49 + 20\sqrt{6}$

$a^2 + b^2 = (49 - 20\sqrt{6}) + (49 + 20\sqrt{6}) = 98$

3. 最終的な答え

$98$

### 問題4

1. 問題の内容

方程式 $x^2 - 5x + k = 0$ の解の一つが $3$ の時、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

解の一つが $3$ なので、$x = 3$ を方程式に代入すると、

$3^2 - 5(3) + k = 0$

$9 - 15 + k = 0$

$k = 6$

元の式は $x^2 - 5x + 6 = 0$ となります。

これを因数分解すると、

$(x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2, 3$

3. 最終的な答え

他の解は $2$

### 問題2の（1）

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、BC=2, CA=3, cosC = -1/4のとき、三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の面積は、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$で求めることができます。

$BC = a = 2$ , $CA = b = 3$がわかっているので、sinCを求める必要があります。

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$なので、

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (-1/4)^2 = 1 - 1/16 = 15/16$

$\sin C = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

三角形の内角なので、$\sin C > 0$ より、$\sin C = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{15}}{4}$