与えられた複数の式を因数分解する問題です。具体的には、以下の式を因数分解する必要があります。 問1: (1) $8ab^2c - 4ac^2 + 6a^2bc$, (2) $49x^2 - 81y^2$, (3) $36a^2 + 60a + 25$, (4) $x^2 - 7xy - 30y^2$ 問2: (1) $3x^2 + 2x - 8$, (2) $2ax^2 - 6ax - 20a$ 問3: (1) $x^4 + x^2 - 20$, (2) $2(x-1)^2 + 7(x-1) + 3$ 問4: (1) $x^2 + xy - x - 4y - 12$, (2) $x^2 + 2y^2 + 3xy - 2x - 5y - 3$

1. 問題の内容

与えられた複数の式を因数分解する問題です。具体的には、以下の式を因数分解する必要があります。

問1: (1) $8ab^2c - 4ac^2 + 6a^2bc$, (2) $49x^2 - 81y^2$, (3) $36a^2 + 60a + 25$, (4) $x^2 - 7xy - 30y^2$

問2: (1) $3x^2 + 2x - 8$, (2) $2ax^2 - 6ax - 20a$

問3: (1) $x^4 + x^2 - 20$, (2) $2(x-1)^2 + 7(x-1) + 3$

問4: (1) $x^2 + xy - x - 4y - 12$, (2) $x^2 + 2y^2 + 3xy - 2x - 5y - 3$

2. 解き方の手順

各問題を順番に解いていきます。

問1:

(1) 各項に共通する因子を見つけてくくり出す。各項は $2abc(4b - 2c + 3a)$ となる。

したがって、$2ac$ をくくりだすと、$2ac(4ab-2c+3ab)$

さらに、$2ac(4b+3a)bc$ となる。整理すると、$2ac(4b-2c+3ab)$

(2) 二項の平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用する。$49x^2 - 81y^2 = (7x)^2 - (9y)^2 = (7x + 9y)(7x - 9y)$

(3) 平方完成または因数分解の公式 $(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2$ を利用する。$36a^2 + 60a + 25 = (6a)^2 + 2(6a)(5) + 5^2 = (6a + 5)^2$

(4) $x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$ の因数分解の公式を利用する。$x^2 - 7xy - 30y^2 = (x-10y)(x+3y)$

問2:

(1) 因数分解 $ax^2 + bx + c = (px+q)(rx+s)$ の形を探す。$3x^2 + 2x - 8 = (3x - 4)(x + 2)$

(2) 各項に共通する因子 $2a$ をくくり出す。$2ax^2 - 6ax - 20a = 2a(x^2 - 3x - 10) = 2a(x-5)(x+2)$

問3:

(1) $X = x^2$ と置換すると、$X^2 + X - 20 = (X+5)(X-4) = (x^2+5)(x^2-4) = (x^2+5)(x+2)(x-2)$

(2) $X = x-1$ と置換すると、$2X^2 + 7X + 3 = (2X+1)(X+3) = (2(x-1)+1)((x-1)+3) = (2x-1)(x+2)$

問4:

(1) $x^2 + xy - x - 4y - 12 = x^2+x(y-1)-4y-12$

$x^2+x(y-1)-4y-12 = (x+4)(x-3)+y(x-4)$

正しくは

$x^2 + xy - x - 4y - 12= x^2-x +xy - 4y - 12=x(x-1)+y(x-4)-12$.

$x^2+xy-x-4y-12 = x^2 +xy - x -4y - 12 = x^2-4 -x+xy - 8 -4y = (x-2)(x+2) - (4+x)(4+y)$

$x^2-x + xy - 4y -12 = x(x-1) + (x-4)y -12=0$

$x^2+xy-x-4y-12 = (x-4)(x+3) + y(x-4) =(x-4)(x+y+3)$

(2) $x^2 + 2y^2 + 3xy - 2x - 5y - 3 = (x+2y+1)(x+y-3)$

3. 最終的な答え

問1:

(1) $2ac(4b+3ab - 2c)$

(2) $(7x + 9y)(7x - 9y)$

(3) $(6a + 5)^2$

(4) $(x-10y)(x+3y)$

問2:

(1) $(3x - 4)(x + 2)$

(2) $2a(x-5)(x+2)$

問3:

(1) $(x^2+5)(x+2)(x-2)$

(2) $(2x-1)(x+2)$

問4:

(1) $(x-4)(x+y+3)$

(2) $(x+2y+1)(x+y-3)$