この問題は以下の内容を含みます。 (1) 1から100までの全ての整数の和を求める。 (2) 1から100までの全ての奇数の和を求める。 (3) 等比数列 $2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{27}, ...$ の初項から第n項までの和を求める。 (4) $S_n = 4 + 4r + 4r^2 + ... + 4r^{n-1}$ を計算する（ただし、$r \neq 1$）。 (5) $\lim_{n \to \infty} S_n$ が収束する $r$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

この問題は以下の内容を含みます。

(1) 1から100までの全ての整数の和を求める。

(2) 1から100までの全ての奇数の和を求める。

(3) 等比数列 $2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{27}, ...$ の初項から第n項までの和を求める。

(4) $S_n = 4 + 4r + 4r^2 + ... + 4r^{n-1}$ を計算する（ただし、$r \neq 1$）。

(5) $\lim_{n \to \infty} S_n$ が収束する $r$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1から100までの整数の和は、等差数列の和の公式を用いて計算できます。初項は1、末項は100、項数は100なので、和は $\frac{100(1+100)}{2}$ で求められます。

(2) 1から100までの奇数の和も、等差数列の和の公式を用いて計算できます。初項は1、末項は99、項数は50なので、和は $\frac{50(1+99)}{2}$ で求められます。

(3) 与えられた等比数列の初項は2、公比は $\frac{1}{3}$ です。初項から第n項までの和 $S_n$ は、等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いて計算できます。ここで、$a=2$, $r=\frac{1}{3}$ なので、$S_n = \frac{2(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{2(1-(\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}} = 3(1-(\frac{1}{3})^n)$。

(4) $S_n = 4 + 4r + 4r^2 + ... + 4r^{n-1}$ は、初項4、公比rの等比数列の和です。等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いると、$S_n = \frac{4(1-r^n)}{1-r}$ となります。

(5) $\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4(1-r^n)}{1-r}$ が収束するためには、$\lim_{n \to \infty} r^n$ が収束する必要があります。これは $|r| < 1$ のとき、つまり $-1 < r < 1$ のときに成り立ちます。このとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{4(1-0)}{1-r} = \frac{4}{1-r}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 1から100までの整数の和: $\frac{100(1+100)}{2} = 5050$

(2) 1から100までの奇数の和: $\frac{50(1+99)}{2} = 2500$

(3) 等比数列の初項から第n項までの和: $3(1-(\frac{1}{3})^n)$

(4) $S_n = \frac{4(1-r^n)}{1-r}$

(5) $\lim_{n \to \infty} S_n$ が収束する $r$ の範囲: $-1 < r < 1$