問題は、与えられた4x4行列の行列式を計算し、その結果を用いて、ある要素に関する余因子を求め、元の行列の逆行列の特定の成分を計算することです。具体的には、(3,4)成分に対応する逆行列の要素を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、与えられた4x4行列の行列式を計算し、その結果を用いて、ある要素に関する余因子を求め、元の行列の逆行列の特定の成分を計算することです。具体的には、(3,4)成分に対応する逆行列の要素を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた行列の行列式を計算します。行列式は、行基本変形を用いて計算されています。

元の行列は

$\begin{vmatrix}

3 & -1 & 2 & 1 \\

-2 & 4 & 1 & -1 \\

6 & -5 & -2 & 2 \\

-3 & 7 & -2 & -5

\end{vmatrix}$

です。

行基本変形により、

$\begin{vmatrix}

3 & -1 & 2 & 1 \\

1 & 3 & 3 & 0 \\

0 & -3 & -6 & 0 \\

12 & 2 & 8 & 0

\end{vmatrix}$

となります。

さらに変形すると、

$1 \cdot (-1)^{1+4} \begin{vmatrix}

1 & 3 & 3 \\

0 & -3 & -6 \\

12 & 2 & 8

\end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix}

1 & 3 & 3 \\

0 & -3 & -6 \\

12 & 2 & 8

\end{vmatrix}$

となります。

さらに計算すると、

$6 \begin{vmatrix}

1 & 3 & 3 \\

0 & 1 & 2 \\

6 & 1 & 4

\end{vmatrix} = 6((4+36) - (18+2)) = 6(40-20) = 6(20) = 120$

行列式は120と計算されています。

(2) 次に、余因子 $A_{43}$ を計算します。$A_{43}$ は、元の行列から4行目と3列目を取り除いた3x3行列の行列式に $(-1)^{4+3}$ をかけたものです。

$A_{43} = (-1)^{4+3} \begin{vmatrix}

3 & -1 & 1 \\

-2 & 4 & -1 \\

6 & -5 & 2

\end{vmatrix} = - \begin{vmatrix}

3 & -1 & 1 \\

-2 & 4 & -1 \\

6 & -5 & 2

\end{vmatrix}$

$A_{43} = -((24+6+10) - (24+15+4)) = -(40 - 43) = -(-3) = 3$

$A_{43}=3$と計算されています。

(3) 最後に、逆行列の (3,4) 成分を計算します。逆行列の (i,j) 成分は、元の行列の (j,i) 成分の余因子を行列式で割ったものに $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。したがって、逆行列の (3,4) 成分は $A_{43}$ を元の行列の行列式で割ったものになります。

逆行列の (3,4) 成分 = $\frac{A_{43}}{|A|} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$

3. 最終的な答え

逆行列の (3,4) 成分は $\frac{1}{40}$ です。