与えられた行列 $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求め、積 $A\tilde{A}$ を計算する問題です。行列 $A$ は以下の2つです。 (i) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ (ii) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求め、積 $A\tilde{A}$ を計算する問題です。行列 $A$ は以下の2つです。

(i) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

(ii) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(i)

1. 余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。

余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたものです。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$

したがって、余因子行列は

$\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. $A\tilde{A}$ を求める。

$A\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

(ii)

1. 余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = 5$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = -5$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = 2$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = -4$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = 22$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = 2$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -4$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 4$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$

したがって、余因子行列は

$\tilde{A} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -4 \\ -5 & 22 & 4 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

2. $A\tilde{A}$ を求める。

$A\tilde{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -4 & -4 \\ -5 & 22 & 4 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) の場合：

余因子行列 $\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

積 $A\tilde{A} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

(ii) の場合：

余因子行列 $\tilde{A} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -4 \\ -5 & 22 & 4 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

積 $A\tilde{A} = \begin{pmatrix} 18 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}$