与えられた行列 $A$ に対して、余因子行列 $\tilde{A}$ を求め、行列 $A$ と $\tilde{A}$ の積 $A\tilde{A}$ を計算します。問題は(i)と(ii)の2つの行列に対して解く必要があります。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、余因子行列 $\tilde{A}$ を求め、行列 $A$ と $\tilde{A}$ の積 $A\tilde{A}$ を計算します。問題は(i)と(ii)の2つの行列に対して解く必要があります。

2. 解き方の手順

(i) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ について:

まず、余因子行列 $\tilde{A}$ を求めます。余因子 $C_{ij}$ は、$A$ の $(i, j)$ 成分を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) - (-1)(1) = 1$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - (-1)) = -1$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (0)(1) - (1)(1) = -1$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) - (1)(1) = -1$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 1) = 0$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$

したがって、余因子行列の転置行列 (随伴行列) $\tilde{A}$ は、

$\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、$A\tilde{A}$ を計算します。

$A\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

(ii) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix}$ について:

まず、余因子行列 $\tilde{A}$ を求めます。余因子 $C_{ij}$ は、$A$ の $(i, j)$ 成分を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = 5$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = -5$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 3 = 2$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = -4$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = 10 + 12 = 22$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = 2$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -4$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 4$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$

したがって、余因子行列の転置行列 (随伴行列) $\tilde{A}$ は、

$\tilde{A} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -4 \\ -5 & 22 & 4 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

次に、$A\tilde{A}$ を計算します。

$A\tilde{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -4 & -4 \\ -5 & 22 & 4 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) $\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$、 $A\tilde{A} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

(ii) $\tilde{A} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -4 \\ -5 & 22 & 4 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$、 $A\tilde{A} = \begin{pmatrix} 18 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}$