AとBがゲームを繰り返し行い、先に4勝した方が優勝する。1回ごとのゲームでAが勝つ確率は$\frac{1}{3}$、Bが勝つ確率は$\frac{2}{3}$である。 (1) ちょうど6回目のゲームでAが優勝する確率を求めよ。 (2) Aが優勝する確率を求めよ。 (3) どちらかが優勝するまでに必要なゲームの回数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

AとBがゲームを繰り返し行い、先に4勝した方が優勝する。1回ごとのゲームでAが勝つ確率は$\frac{1}{3}$、Bが勝つ確率は$\frac{2}{3}$である。

(1) ちょうど6回目のゲームでAが優勝する確率を求めよ。

(2) Aが優勝する確率を求めよ。

(3) どちらかが優勝するまでに必要なゲームの回数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ちょうど6回目のゲームでAが優勝するためには、5回目までにAが3勝し、6回目にAが勝つ必要がある。5回目までにAが3勝Bが2勝する確率は、二項分布より${}_5 C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2$。6回目にAが勝つ確率は$\frac{1}{3}$。したがって、求める確率は

$${}_5 C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{1}{3} = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{40}{729}$$

(2) Aが優勝するためには、4回、5回、6回、7回のいずれかでAが4勝する必要がある。

- 4回でAが優勝する場合: $(\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$

- 5回でAが優勝する場合: 4回までにAが3勝し、5回目にAが勝つ。${}_4 C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^1 \times \frac{1}{3} = 4 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{243}$

- 6回でAが優勝する場合: 上記(1)より$\frac{40}{729}$

- 7回でAが優勝する場合: 6回までにAが3勝し、7回目にAが勝つ。${}_6 C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^3 \times \frac{1}{3} = 20 \times \frac{1}{27} \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{160}{2187}$

したがって、Aが優勝する確率は

$\frac{1}{81} + \frac{8}{243} + \frac{40}{729} + \frac{160}{2187} = \frac{27 + 72 + 120 + 160}{2187} = \frac{379}{2187}$

(3) どちらかが優勝するまでに必要なゲームの回数は、4回、5回、6回、7回のいずれかである。

- 4回で決着する場合: Aが4勝するかBが4勝する。$(\frac{1}{3})^4 + (\frac{2}{3})^4 = \frac{1}{81} + \frac{16}{81} = \frac{17}{81}$

- 5回で決着する場合: Aが4勝するかBが4勝する。${}_4 C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^1 \times \frac{1}{3} + {}_4 C_3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^1 \times \frac{2}{3} = 4 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{243} + \frac{64}{243} = \frac{72}{243} = \frac{8}{27}$

- 6回で決着する場合: Aが4勝するかBが4勝する。${}_5 C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3} + {}_5 C_3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} + 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{40}{729} + \frac{160}{729} = \frac{200}{729}$

- 7回で決着する場合: Aが4勝するかBが4勝する。${}_6 C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^3 \times \frac{1}{3} + {}_6 C_3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^3 \times \frac{2}{3} = 20 \times \frac{1}{27} \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} + 20 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{160}{2187} + \frac{320}{2187} = \frac{480}{2187} = \frac{160}{729}$

期待値は $4 \times \frac{17}{81} + 5 \times \frac{8}{27} + 6 \times \frac{200}{729} + 7 \times \frac{160}{729} = \frac{68}{81} + \frac{40}{27} + \frac{1200}{729} + \frac{1120}{729} = \frac{68 \times 9 + 40 \times 27 + 1200 + 1120}{729} = \frac{612 + 1080 + 1200 + 1120}{729} = \frac{4012}{729} \approx 5.50$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{40}{729}$

(2) $\frac{379}{2187}$

(3) $\frac{4012}{729}$