以下の4つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ (2) $\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$ (3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{(2-x)^2}} dx$ (4) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

1. 問題の内容

以下の4つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

(2) $\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$

(3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{(2-x)^2}} dx$

(4) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$u = 1-x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となります。

よって、 $x dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲は、 $x=0$ のとき $u=1$, $x=1$ のとき $u=0$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{1}^{0} \frac{-1/2}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{-1/2} du = \frac{1}{2} [2u^{1/2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (2 - 0) = 1$

(2) $\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$

この積分は $x=1$ で被積分関数が発散するため、広義積分として扱う必要があります。

$\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \int_{-1}^{1} \frac{1}{(x-1)^3} dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{(x-1)^3} dx = \int (x-1)^{-3} dx = \frac{(x-1)^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x-1)^2} + C$

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{b \to 1^-} \int_{-1}^{b} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{b \to 1^-} \left[-\frac{1}{2(x-1)^2}\right]_{-1}^{b} = \lim_{b \to 1^-} \left(-\frac{1}{2(b-1)^2} + \frac{1}{2(-1-1)^2}\right) = \lim_{b \to 1^-} \left(-\frac{1}{2(b-1)^2} + \frac{1}{8}\right) = -\infty$

$\int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{a \to 1^+} \int_{a}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{a \to 1^+} \left[-\frac{1}{2(x-1)^2}\right]_{a}^{2} = \lim_{a \to 1^+} \left(-\frac{1}{2(2-1)^2} + \frac{1}{2(a-1)^2}\right) = \lim_{a \to 1^+} \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2(a-1)^2}\right) = \infty$

したがって、この積分は発散します。

(3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{(2-x)^2}} dx$

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{(2-x)^2}} dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{|2-x|} dx$

$x<2$ のとき $|2-x| = 2-x$ なので、

$\int_{0}^{2} \frac{1}{2-x} dx = \lim_{b \to 2^-} \int_{0}^{b} \frac{1}{2-x} dx$

ここで、 $u=2-x$ と置換すると、$du=-dx$ となり、

$\int \frac{1}{2-x} dx = -\int \frac{1}{u} du = -\ln|u| + C = -\ln|2-x| + C$

よって、

$\lim_{b \to 2^-} \int_{0}^{b} \frac{1}{2-x} dx = \lim_{b \to 2^-} [-\ln|2-x|]_{0}^{b} = \lim_{b \to 2^-} (-\ln|2-b| + \ln|2-0|) = \lim_{b \to 2^-} (-\ln(2-b) + \ln 2) = \infty$

したがって、この積分は発散します。

(4) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

よって、 $x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲は、$x=0$ のとき $u=0$, $x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} e^{-u} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 発散

(3) 発散

(4) $\frac{1}{2}$