集合系 $U = \{[a, +\infty) \subset \mathbb{R} \mid a > 0\}$ に対して、和集合 $\bigcup U$ が何になるかを予想し、予想した集合が $\bigcup U$ の部分集合であることを示す。

1. 問題の内容

集合系 $U = \{[a, +\infty) \subset \mathbb{R} \mid a > 0\}$ に対して、和集合 $\bigcup U$ が何になるかを予想し、予想した集合が $\bigcup U$ の部分集合であることを示す。

2. 解き方の手順

集合系 $U$ は、実数 $a > 0$ を用いて $[a, +\infty)$ の形の区間全体からなる集合です。和集合 $\bigcup U$ は、これらの区間すべてを合わせた集合となります。

$a$ は正の実数なので、$a$ を 0 に限りなく近づけることができます。すると、区間 $[a, +\infty)$ は限りなく $[0, +\infty)$ に近づきます。しかし、$a > 0$ なので、$a = 0$ になることはありません。したがって、和集合 $\bigcup U$ は正の実数全体を含む区間 $[0, \infty)$ から 0 を除いた区間 $(0, \infty)$ になると予想できます。

次に、予想した集合 $(0, \infty)$ が $\bigcup U$ の部分集合であることを示す必要があります。

$x \in (0, \infty)$ と仮定します。このとき、$x > 0$ です。

$a = x/2$ とおくと、$a > 0$ なので、区間 $[a, +\infty)$ は集合系 $U$ に属します。

また、$x > a = x/2$ なので、$x \in [a, +\infty)$ です。

したがって、$x$ はある $[a, +\infty) \in U$ に属するので、$x \in \bigcup U$ です。

これにより、$(0, \infty) \subset \bigcup U$ が示されました。

3. 最終的な答え

$\bigcup U = (0, \infty)$ であり、$(0, \infty) \subset \bigcup U$ である。